동경대 2003년 입시 문제라고 함.
유투브 풀이를 몇 개 봤는데 마음에 안들어서 내가 다시 시도해봄.
- 전통적인 풀이는 내접 다각형의 둘레보다 원의 둘레가 크다는 것을 이용하는 것 같음. 나도 그렇게 시도함.
- 원주율의 정의는 다음과 같음.
- 원주율 = 원의 둘레 / 원의 지름
- 원의 둘레 = 원주율 * 원의 지름 = 원주율 * 2 * 반지름
- 유클리드 평면에서 두 점을 연결하는 최단 거리는 직선임. 따라서 내접 다각형의 둘레 길이는 항상 원의 둘레보다 작음.
- 내접 다각형 둘레 < 2 * pi * 반지름
- 이제 부터 반지름 1인 원을 이용하겠음.
- 내접 다각형 둘레 < 2 * pi
- 내접 다각형 둘레 / 2 < pi
- (내접 다각형 둘레 / 2)^2 < pi^2
- 3.05^2 = 9.3025 < (내접 다각형 둘레 / 2)^2 < pi^2
- 반지름이 1인 원을 그려봄.
- 내접하는 정다각형을 그려봄.
- 그릴 때 이등변 삼각형을 둘러 붙이는 형식으로 그려줌.
- 편의상 원의 반지름과 같은 부분을 a, b라고 하고, 호에 인접한 선분을 c 라고 함. 선분 a와 선분 b 사이의 각을 theta 라고 하겠음.
- 코사인 제2법칙을 이용함.
- c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*cos(theta)
- 코사인 제2법칙을 이용함.
- 정다각형은 (360/theta) 만큼 만들어짐
- 정다각형의 둘레
- (360/theta) * sqrt(2-2cos(theta))
- 증명하고자 하는 부분
- (360/theta) * sqrt(2-2cos(theta)) < 2 * pi
- 양변을 2로 나눔
- (180/theta) * sqrt(2-2cos(theta)) < pi
- 양변을 제곱함
- (180/theta)^2 * (2-2cos(theta)) < pi ^ 2
- 정삼각형부터 시작해 봄 (theta = 120, cos(120) = -0.5)
- 6.75 < pi ^ 2
- 정사각형(theta = 90, cos(90) = 0)
- 8 < pi ^ 2
- 정육각형(theta = 60, cos(60) = 0.5)
- 9 < pi ^ 2
- 정팔각형(theta = 45, cos(45) = sqrt(2)/2)
- 16 * ( 2 – sqrt(2)) ~ 16 * (2-1.414) = 9.376 > 9.3025
- 정12각형(theta = 30, cos(30) = sqrt(3)/2)
- 36 * ( 2 – sqrt(3)) ~ 36 * (2-1.732) = 9.648 > 9.3025
sqrt(2) ~ 1.42로 하면 9.28이 나와서 안됨.
sqrt(3) ~ 1.74로 하면 9.36으로 성립할 수 있음.